结业考核

这是本书过程化考核的最后一环,由两部分组成:综合项目与结业测验。全部完成后,你应当能脱离任何 AI 工具,独立用 NumPy / PyTorch / matplotlib 完成线性代数的计算与可视化,并读懂、验证 AI 生成的相关代码——这正是本书的两个核心目标。

一、综合项目

从下面三个主题中任选一个,独立完成。也可以自拟同等难度的主题,但必须先按「统一验收标准」自评。

主题 A:最小二乘线性回归器

用 NumPy 从零实现两种求解:法方程与高斯消元(自写,不用 np.linalg.solve);
用 PyTorch 实现梯度下降版,三者结果应一致;
生成含噪声的合成数据(如 ),拟合并画出数据、拟合直线与残差;
至少支持一元;有能力可扩展多元()。

主题 B:SVD 图片压缩器

用 NumPy 对灰度图做 SVD,支持输入 (保留奇异值个数)重建;
对比原图与重建图,输出压缩率(存储数量之比)与相对误差 ;
画一张「误差随变化」的曲线图;
图片可用 14.6 的合成图,也可读取本地图片(需自行处理为灰度);
有能力可扩展:彩色图按 RGB 三通道分别压缩。

主题 C:线性变换实验室

输入任意 2×2 矩阵,输出:行列式、秩、特征值与特征向量、SVD 的、、;
画出:单位正方形及其变换像、单位圆及其变换后的椭圆、特征方向、奇异值半轴;
对不可对角化或奇异矩阵给出友好提示,不崩溃;
用 matplotlib 交互或参数文件控制矩阵输入均可。

统一验收标准(全部满足才算通过):

标准	说明
可运行	按注释说明可一键运行,无语法错误
有注释	关键函数有注释,说明「为什么」而不是复述代码
数学正确	结果与 `np.linalg` / `torch.linalg` 的库结果一致(用 `np.allclose` 验证)
有容错	非法输入(如奇异矩阵、越界)给出提示,不崩溃
结构清晰	用函数组织代码,没有大段重复
可视化	至少包含一张 matplotlib 图,并解释图中每个元素

二、结业测验

覆盖第 1~14 章知识点,共 15 题,答对 12 题(80%)以上视为通过。

点到的距离是?(第 1 章)
- A.
- B.
- C.
- D.
从到的向量是?(第 2 章)
- A.
- B.
- C.
- D.
(第 3 章)
- A.
- B.
- C.
- D.
(第 4 章)
- A.
- B.
- C.
- D.
下列哪组向量线性相关?(第 5 章)
- A. 、
- B. 、
- C. 、
- D. 、
矩阵转置后是?(第 6 章)
- A. 矩阵
- B. 矩阵
- C. 矩阵
- D. 不变
(第 7 章)
- A.
- B.
- C.
- D.
方程组、的解是?(第 8 章)
- A. 唯一解
- B. 无解
- C. 无穷多解
- D.
(第 9 章)
- A.
- B.
- C.
- D.
下列哪个矩阵不可逆?(第 10 章)
- A.
- B.
- C.
- D.
(第 11 章)
- A.
- B.
- C.
- D. 无穷大
特征方程是?(第 12 章)
- A.
- B.
- C.
- D.
最小二乘的法方程是?(第 13 章)
- A.
- B.
- C.
- D.
SVD 分解是?(第 14 章)
- A.
- B.
- C.
- D.
奇异值是以下哪个矩阵的特征值平方根?(第 14 章)
- A.
- B.
- C.
- D.

三、结业评审

把项目代码与测验答案交给老师或 AI 老师评审:

项目按「统一验收标准」逐项打分,任何一项不通过则整体不通过;
测验按每题 1 分,≥ 12 分通过;
未通过的部分,由老师指出具体问题并生成补充练习,重做后再审;
通过后,恭喜你——你已经具备独立使用线性代数解决真实问题的能力,并能理解 AI 代码中矩阵运算的数学含义。